1
ઉદાહરણ ૮ — થાંભલા-ફાટકનો ઉકેલ
BP = x, AP = x + 7, AB = 13 (વ્યાસ). અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો → ∠APB = 90°.
પાયથાગોરસ: AP² + PB² = AB² → (x+7)² + x² = 169 → 2x² + 14x − 120 = 0 → x² + 7x − 60 = 0.
વિવેચક = 49 + 240 = 289 > 0 → બે વાસ્તવિક બીજ, શક્ય છે.
x = (−7 ± 17)/2 → x = 5 અથવા −12. અંતર ઋણ ન હોય → થાંભલો B થી 5 મી, A થી 12 મી દૂર.
પાયથાગોરસ: AP² + PB² = AB² → (x+7)² + x² = 169 → 2x² + 14x − 120 = 0 → x² + 7x − 60 = 0.
વિવેચક = 49 + 240 = 289 > 0 → બે વાસ્તવિક બીજ, શક્ય છે.
x = (−7 ± 17)/2 → x = 5 અથવા −12. અંતર ઋણ ન હોય → થાંભલો B થી 5 મી, A થી 12 મી દૂર.
2
ઉદાહરણ ૯ — સમાન બીજ
3x² − 2x + 1/3 = 0 → વિવેચક = (−2)² − 4·3·(1/3) = 4 − 4 = 0 → બે સમાન બીજ.
બીજ = −b/2a = 2/6 = 1/3, 1/3.
બીજ = −b/2a = 2/6 = 1/3, 1/3.
3
દ્વિઘાત સૂત્ર કેલ્ક્યુલેટર
x² + x + = 0
4
સ્વાધ્યાય ૪.૩ પ્ર.૧ — બીજનું સ્વરૂપ
(i) 2x² − 3x + 5 = 0
વિવેચક = 9 − 40 = −31 < 0 → વાસ્તવિક બીજ નથી.
(ii) 3x² − 4√3x + 4 = 0
વિવેચક = 48 − 48 = 0 → બે સમાન બીજ; x = 2/√3, 2/√3.
(iii) 2x² − 6x + 3 = 0
વિવેચક = 36 − 24 = 12 > 0 → બે ભિન્ન બીજ; x = (3 ± √3)/2.