વાસ્તવિક સંખ્યાઓ · પેજ ૫ — √2 અસંમેય છે તેની સાબિતી

★

બે મહત્ત્વના પ્રમેય

પ્રમેય ૧.૨: ધારો કે p એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. ધન પૂર્ણાંક a માટે જો a² એ p વડે વિભાજ્ય હોય, તો a પણ p વડે વિભાજ્ય હોય.

પ્રમેય ૧.૩: √2 એ અસંમેય છે.

આ સાબિતી "વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતી" પદ્ધતિથી થાય. નીચે પગલે પગલે જોઈએ.

1

2

વિચાર સરળ છે — "ઊલટું ધારો → એ ધારણા ખોટી પુરવાર થાય → એટલે મૂળ વાત સાચી." એક સાદું ઉદાહરણ જુઓ:

દાવો: "સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોતી નથી."

① ધારણા
ધારો સૌથી મોટી સંખ્યા N છે

② વિરોધાભાસ
પણ N+1 તો N થી મોટી છે!

③ નિષ્કર્ષ
એટલે સૌથી મોટી સંખ્યા નથી ✓

3

અવિભાજ્ય p અને કોઈ સંખ્યા a પસંદ કરો. જુઓ — જો a² p વડે વિભાજ્ય હોય તો a પણ p વડે વિભાજ્ય હોય જ.

p (અવિભાજ્ય): a:

4

સાબિતીમાં વિરોધાભાસ કયા પગલે ઊભો થાય છે?

૧. √2 = a/b, જ્યાં a, b સહઅવિભાજ્ય
૨. 2b² = a² → a એ 2 વડે વિભાજ્ય
૩. a = 2c → b² = 2c² → b એ 2 વડે વિભાજ્ય
૪. a અને b બંને 2 વડે વિભાજ્ય